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發布時間: | 2023-11-22 23:59 |
最后更新: | 2023-11-22 23:59 |
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零狀態響應,是指電路在零初始狀態下(即儲能元件的初始能量為零),僅由外加電源激勵所產生的電路響應。而零輸入響應是指動態電路中無外施激勵電源,輸入信號為零,僅由動態元件(電感元件或電容元件)的初始儲能所產生的響應。
圖42-1
??上圖42-1所示RC串聯電路,開關K閉合前電路處于零初始狀態,也就是電容電壓為零,uC(0-)=0。在t=0時刻,開關K閉合,電路接入直流電壓源US。根據回路電壓列出KVL方程,可以得到,電阻電壓加上電容電壓等于電源電壓。
??根據VCR:uR=iR、i=CduC/dt,代入KVL方程得到一階線性非齊次方程,如圖42-1所示。所謂非齊次,是指等號右邊不為零,而是等于US。區別于我們上次所學的RC電路的零輸入響應,即“所謂一階,是指方程中關于uC的導數是一階導數(duC/dt),在電路中表現為僅含一個儲能元件或可等效為一個儲能元件的電路;齊次在這里指的是等號右邊為零。”
??一階線性非齊次方程的求解,我們直接套用公式,由特解和對應的齊次方程的通解兩個分量組成,如圖42-2所示。
圖42-2
??所謂方程的通解,不同的微分方程具有不同的形式,例如我們上次學習中遇到的一階齊次微分方程,方程的通解為uC =Aept。這是因為對于一個微分方程而言,其解往往不止一個,而是有一組,可以表示這一組中所有解或者部分解的統一形式,就稱為通解。而特解是這個方程的所有解當中的某一個,為已知數。
??圖42-3
??我們求解圖42-2中的方程,先求其特解,如圖42-3所示,特解的求解相對簡單,因為它是一個已知數,直接代入方程即可。常數的微分為零,求出特解即為US;而齊次方程的通解,我們在上一次也已經學習過,結合時間常數τ,可以得出特解的公式。后得出非齊次方程的通解如圖42-3所示。
??現在通解公式中只有一個未知數A,我們代入電容電壓t=0 時的初始值uC(0 )=uC(0-)=0,可以求出A=-US。為什么代入初始值呢?曹老師在《電工基礎》中也提到,求積分常數A時,可以找t等于某一時刻時的電容電壓值代入通解公式,比較容易計算的時間有t=0 時刻和t=∞時刻,那為什么不是選t=∞呢?這是因為t=∞時,Ae-t/τ趨于零,此時計算A無意義。
??圖42-4
??終,我們就可以得到RC電路的零狀態響應的電容電壓、電路電流的解如圖42-4所示。畫出電容定壓和電流的變化規律,可以看到,電容電壓uC以指數形式趨近于它的終恒定值US,當電容電壓達到恒定值US后,電壓和電流不再變化,此時電容相當于開路,電流為零。此時電路達到穩定狀態,簡稱穩態,把電容電壓的特解部分稱為穩態分量,對應齊次方程的通解部分稱為暫態(瞬態)分量。結合我們上次所學的RC電路的零輸入響應,可以得出,暫態分量按指數規律衰減,其變化規律取決于特征根(或者說取決于時間常數τ)。
??知道了RC電路的零輸入響應與零狀態響應,學習RC電路的全響應就簡單多了。所謂全響應是指當一個非零初始狀態的一階電路(只有一個動態元件)受到外電源激勵時,電路的響應。圖42-5所示RC串聯電路,電容在換路前已充有一定能量,其電壓為U0。
??圖42-5
??顯然,RC串聯電路的全響應和零狀態響應之間只差了一個初始值。全響應的方程解如圖42-5所示,和圖42-4相比較,可以發現,當圖42-5中的U0=0時,就變成了圖42-4中的結果。其實從另一個角度思考,根據疊加定理,全響應的解恰好是的等于零輸入響應的解 零狀態響應的解。
??圖42-6
??如圖42-6所示,全響應可以分解為零狀態響應和零輸入響應,也可以分解為瞬態分量和穩態分量,但不管怎么分解,都是從不同角度去分析全響應的。全響應總是由初始值、特解和時間常數三個要素決定的。可以利用三要素法求解一階線性電路微分方程。
??在直流電源激勵下,若一階動態電路的初始值為f(0 ),特解為穩態解f(∞),時間常數為τ,則全響應如圖42-7所示。只要知道f(0 )、f(∞)和τ這三個要素,就可以根據圖42-7的式子直接寫出直流激勵下一階電路的全響應。
圖42-7
??RC電路的零狀態響應曲線的起點是零點,類似的,全響應的曲線又是怎樣的呢?大家可以自行思考,嘗試畫一下。
??利用三要素法求解RC電路的全響應,主要是計算三要素,初始值我們之間也已經學過了,時間常數完全取決于電路的R和C,電阻的計算可以通過電阻的等效變換計算,后是穩態值,因為電路達到穩態時電容相當于開路,根據這個特性可以很快地算出穩態值。
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